Boo's Blog

Stay foolish, Stay hungry

树的概念

之前介绍的所有的数据结构都是线性存储结构。本章所介绍的树结构是一种非线性存储结构,存储的是具有“一对多”关系的数据元素的集合。

图 1(A) 是使用树结构存储的集合 {A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M} 的示意图。对于数据 A 来说,和数据 B、C、D 有关系;对于数据 B 来说,和 E、F 有关系。这就是“一对多”的关系。

将具有“一对多”关系的集合中的数据元素按照图 1(A)的形式进行存储,整个存储形状在逻辑结构上看,类似于实际生活中倒着的树(图 1(B)倒过来),所以称这种存储结构为“树型”存储结构。

树的结点

结点:使用树结构存储的每一个数据元素都被称为“结点”。例如,图 1(A)中,数据元素 A 就是一个结点;

  • 父结点(双亲结点)、子结点和兄弟结点:对于图 1(A)中的结点 A、B、C、D 来说,A 是 B、C、D 结点的父结点(也称为“双亲结点”),而 B、C、D 都是 A 结点的子结点(也称“孩子结点”)。对于 B、C、D 来说,它们都有相同的父结点,所以它们互为兄弟结点。
  • 树根结点(简称“根结点”):每一个非空树都有且只有一个被称为根的结点。图 1(A)中,结点 A 就是整棵树的根结点。
  • 叶子结点:如果结点没有任何子结点,那么此结点称为叶子结点(叶结点)。例如图 1(A)中,结点 K、L、F、G、M、I、J 都是这棵树的叶子结点。

树根的判断依据为:如果一个结点没有父结点,那么这个结点就是整棵树的根结点。

子树和空树

  • 子树:如图 1(A)中,整棵树的根结点为结点 A,而如果单看结点 B、E、F、K、L 组成的部分来说,也是棵树,而且节点 B 为这棵树的根结点。所以称 B、E、F、K、L 这几个结点组成的树为整棵树的子树;同样,结点 E、K、L 构成的也是一棵子树,根结点为 E。

注意:单个结点也是一棵树,只不过根结点就是它本身。图 1(A)中,结点 K、L、F 等都是树,且都是整棵树的子树。

知道了子树的概念后,树也可以这样定义:树是由根结点和若干棵子树构成的。

  • 空树:如果集合本身为空,那么构成的树就被称为空树。空树中没有结点。

补充:在树结构中,对于具有同一个根结点的各个子树,相互之间不能有交集。例如,图 1(A)中,除了根结点 A,其余元素又各自构成了三个子树,根结点分别为 B、C、D,这三个子树相互之间没有相同的结点。如果有,就破坏了树的结构,不能算做是一棵树。

有序树和无序树

如果树中结点的子树从左到右看,谁在左边,谁在右边,是有规定的,这棵树称为有序树;反之称为无序树。

在有序树中,一个结点最左边的子树称为”第一个孩子”,最右边的称为”最后一个孩子”。

拿图 1(A)来说,如果是其本身是一棵有序树,则以结点 B 为根结点的子树为整棵树的第一个孩子,以结点
D 为根结点的子树为整棵树的最后一个孩子。

二叉树的定义

简单地理解,满足以下两个条件的树就是二叉树:

  1. 本身是有序树;
  2. 树中包含的各个节点的度不能超过 2,即只能是 0、1 或者 2;


二叉搜索树(又叫做二叉查找树或二叉排序树)具备以下特点:

  1. 每个结点的值均大于其左子树上的任意一个结点的值
  2. 每个结点的值均小于其右子树上任意一个结点的值

二叉搜索树的基本操作:

  • BSTNode* BST_Search(BSTree T, int key);:查找关键字 (非递归版本)
  • BSTNode* BST_SearchR(BSTree T, int key);:查找关键字 (递归版本)
  • bool BST_Insert(BSTree &T, int key);:二叉排序树插入操作
  • void BST_Create(BSTree &T, int *elems, int n);:构造二叉排序树

二叉搜索树的实现

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
/**
* 二叉排序树
*/
typedef struct BSTNode{
int data;
struct BSTNode *lchild, *rchild;
} BSTNode, *BSTree;

/**
* 二叉排序树的插入操作
*
* @param T
* @param i
* @return
*/
bool BST_Insert(BSTree &T, int key){
// 首先判断是否是树根
if (NULL == T) {
// 为新节点申请空间
T = (BSTree)malloc(sizeof(BSTNode));
T->data = key;
T->lchild = T->rchild = NULL;
} else if (key == T->data) {
// 发现相同元素
return false;
} else if (key < T->data) {
// 如果要插入的结点,小于当前结点,将插入左子树
return BST_Insert(T->lchild, key);
} else {
// 如果要插入的结点,大于当前结点,则插入右子树
return BST_Insert(T->rchild, key);
}
};

/**
* 构造二叉排序树
*
* @param T
* @param elems
* @param n
*/
void BST_Create(BSTree &T, int elems[], int n){
int i = 0;
while (i < n) {
BST_Insert(T, elems[i]);
i++;
}
};

/**
* 非递归搜索子树
*
* @param T
* @param key
* @param p
* @return
*/
BSTree BST_Search(BSTree T, int key) {
while (T != NULL && T->data != key) {
if (T->data < key) {
// 如果 key 大于当前结点则返回右子树
T = T->rchild;
} else {
// 如果 key 小于当前结点则返回左子树
T = T->lchild;
}
}
return T;
};

/**
* 递归搜索子树
*
* @param T
* @param key
* @return
*/
BSTree BST_SearchR(BSTree T, int key){
if (T != NULL && T->data != key) {
if (T->data < key) {
return BST_SearchR(T->rchild, key);
} else if (T->data > key) {
return BST_SearchR(T->lchild, key);
}
}
return T;
};

参考链接

评论